科目代码：827 科目名称：实变函数
一、考试要求
主要考查学生对集与点集的理解与掌握；对Lebesgue测度的理解与掌握；对可测函数的理解与掌握；对Lebesgue积分的理解与掌握；对LP空间的理解与掌握；以及运用基本理论和
方法，分析解决问题的能力。
二、考试内容
1．集与点集
掌握集合的各种运算；理解映射的像、原像的概念及其运算性质；了解集的对等、势的概念及其性质，会证明可数集的基本问题；掌握一维开集、闭集的性质以及内点、极限点、
稠密性等若干概念；熟悉康脱集的构造及性质。
2．Lebesgue测度
理解外测度的概念与性质，了解内测度的定义，掌握可测集的定义；掌握可测集与测度的性质；了解不可测集的存在性；掌握生成类的概念与性质，了解外测度扩张方法。
3．可测函数
理解可测函数的概念，掌握函数可测的证明方法；理解“几乎处处”的概念；掌握几乎处处收敛、依测度收敛、近一致收敛的特征、性质以及它们之间的关系；理解Riesz定理与叶
果洛夫定理，并掌握其证明方法；理解可测函数的构造，掌握鲁津定理。
4．Lebesgue积分
理解Lebesgue积分的定义，掌握Lebesgue积分的基本性质；掌握证明积分基本问题的方法；掌握积分三大极限定理及其基本用法；了解函数常义R可积的充要条件，理解R积分与L积
分的关系，并会用来计算一类R积分值与L积分值；理解单调函数、有界变差函数的性质、掌握全连续函数的基本性质、特征及应用；了解Fubini定理及应用。
5. LP空间
理解LP空间及其上范数的定义，掌握Hölder不等式与Minkowski不等式；理解LP空间中基本点列、强收敛点列的概念及其相互关系，了解点列弱收敛的概念；理解完备性、稠密性、
可分性的概念，理解当 时，LP空间是完备空间，当 时，LP空间是可分空间，掌握完备性与可分性的用法。
三、考试形式
考试形式为闭卷、笔试，考试时间为3小时，满分150分。
题型包括：填空题、证明题、计算题等。
四、参考书目
《实变函数与泛函分析概要（第一册）》. 郑维行，王声望编．高等教育出版社．2010．第四版
